第三次作业 （截止日期：11月1日）

1. 证明关于泡利矩阵的如下公式：

2. 证明SU(2)的旋量表示（自旋1/2表示）的复共轭表示是等价表示，即存在 ，使得

3. 验证泡利矩阵满足：

4. 从洛伦兹群的旋转生成元 和boost生成元 出发，定义一组新的生成元：

5. 计算如下gamma矩阵的迹：

6. 分别计算如下外尔场和狄拉克场的能量动量张量：

7. 内部对称性和时空对称性之外的一个有趣推广是超对称。考虑如下包含复标量场和外尔旋量场的拉氏量：

• 证明这个拉氏量在如下超对称变换下不变：
  
  其中 是一个二分量的复格拉斯曼数，即满足反对易条件的数 。
• 上述拉氏量对应的是自由理论。可以加入场的更高阶项引入相互作用。证明如下相互作用拉氏量仍然在超对称变换下不变：

8. 设 是一个右手外尔旋量场，证明如下量在旋转变换下是一个空间矢量：

9. 定义如下的矩阵：