截止日期：10月16日
- 证明时间演化算符
$$U(t, t_0) = \exp[-i \int_{t_0}^t dt'\, H_I(t)]$$
满足如下关系：
$$U(t, t_1) U(t_1, t_2) = U(t, t_2) \,, \quad U(t, t_1) U^\dagger(t_2, t_1) = U(t, t_2)$$
-
证明编时乘积$T\{\phi(x_1) \phi(x_2)\}$和正规乘积$:\phi(x_1) \phi(x_2):$关于$x_1$和$x_2$的交换对称，从而证明费曼传播子$\Delta_F(x_1 - x_2)$也是关于$x_1 \leftrightarrow x_2$对称。
-
通过具体计算验证如下Wick公式：
$$\begin{align} T\{\phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3) \} = &\ :\phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3): + \phi(x_1) \Delta_F(x_2 - x_3) \\ &\ + \phi(x_2) \Delta_F(x_3 - x_1) + \phi(x_3) \Delta_F(x_1 - x_2) \end{align}$$
其中$\phi(x)$是实标量场，$\Delta_F(x)$是费曼传播子。
- 考虑如下的标量汤川理论：
$$\mathcal{L} = \partial_\mu \psi \partial^\mu \psi^* - M^2 \psi^* \psi + \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - g \psi^* \psi \phi$$
其中
$\psi$是复标量核子场，
$\phi$是实标量介子场。画出如下过程的相关费曼图并计算散射振幅：
- 核子-反核子散射：$\psi + \psi^* \to \phi$，保留到${\cal O}(g)$
- 核子-介子散射：$\psi \phi \to \psi \phi$，保留到${\cal O}(g^2)$
- 康普顿散射描述了高能光子与初始静止的电子散射的过程：
$$\gamma(k_1) + e(p_1) \to \gamma(k_2) + e(p_2)$$
该过程的散射振幅如何计算将在以后的课程中介绍，这里我们只需要知道散射振幅的表达式（已对所有末态自旋求和以及初态自旋求平均）：
$$\begin{align} |M|^2 = &\ 32 \pi^2 \alpha^2 \Bigg[ \frac{m^4 + m^2 (3 s + u) - s u}{(m^2 - s)^2} + \frac{m^4 + m^2 (3 u+s) - s u}{(m^2 - u)^2} \\ &\ + \frac{2 m^2 (s + u + 2 m^2)}{(m^2 - s)(m^2 - u)} \Bigg] + {\cal O}(\alpha^4) \end{align}$$
其中$\alpha = 1/137$是精细结构常数，$m$是电子质量，$s = (k_1 + p_1)^2$，$u = (k_1 - p_2)^2$。
-
将Mandelstam变量$s$和$u$用入射和出射光子的能量$\omega$和$\omega'$表示。
-
将出射光子相对入射光子的散射角$\theta$用$\omega$和$\omega'$表示。
-
计算关于出射光子方位角$d\Omega = \sin\theta d\theta d \phi$的微分散射截面，
并将其表达为$\omega$和$\omega'$的函数。你的结果应与Klein-Nishina公式一致：
$$\frac{d\sigma}{d \Omega} = \frac{\alpha^2}{2 m^2} \frac{\omega'^2}{\omega^2} \left( \frac{\omega}{\omega'} + \frac{\omega'}{\omega} - \sin^2 \theta \right)$$
- 量子非谐振子可以看成$0+1$维（零维空间，一维时间）的量子场论，其拉格朗日量如下：
$$L = \frac{1}{2} \dot \phi^2 - \frac{1}{2} \omega^2 \phi^2 - \frac{1}{4!} \lambda \phi^4$$
正则对易关系为：
$$[\phi, \dot \phi] = i$$
我们这里感兴趣的是基态能量$E_0$，可以写成关于$\lambda$展开的级数：
$$E_0 = \frac{\omega}{2} + \sum_{n=1}^\infty \lambda^n A_n(m)$$
其中第一项是简谐振子的零点能，后面的项对应相互作用对简谐振子的微扰展开。