梁书:1.6节后习题。
补充题目:
1. 判断下列函数是否是多值函数,如是,则找出其支点并画出割线。
(1) \(z + \sqrt{z - 1}\)
(2) \(\cos \sqrt{z} \)
(3) \(\frac{1}{\sqrt{z-1}} \)
(4) \( \frac{\cos\sqrt{z}}{\sqrt{z}} \)
(5) \( \sin\left( \rm{i} \ln z\right) \)
(6) \( \sqrt[3]{(z-a)(z-b)}, \quad a \neq b \)
(7) \( \sqrt[3]{1- z^3} \)
(8) \( \ln \cos z \)
2. 计算下述复积分。
(1) \( \int_{-i \pi}^{i \pi} e^z \cos z \, {\rm d}z \)
(2) \( \int_{|z|=r} \mathrm{Re} z \, \mathrm{d} z \)
(3)\( \int_{1-i}^{1+i} \frac{\mathrm{d} z}{\sqrt{z-1}} \)
(4) \( \int_0^{2+i} \mathrm{Re} z \, \mathrm{d} z \), 积分路径为:
(i) 线段[0,2]和[2,2+i]组成的折线; (ii) 线段 \( z = (2 + i )t, \quad 0 \leq t \leq 1 \).
(5) \( \int_C \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{z}}\), 规定 \(\sqrt{z}|_{z=1}=1\),积分路径由\(z=1\)出发的 (i) 单位圆的上半周; (ii) 单位圆的下半周。
(6)\( \oint_{|z|=1} \frac{\mathrm{d}z}{z} \)
(7) \( \oint_{|z|=1} \frac{\mathrm{d}z}{|z|} \)

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